Hallo Diana,

zunächst stellst du erstmal die gesuchte Funktion mit Ableitungen auf: Funktion f dritten Grades:                          f(x)=ax³+bx²+cx+d , f'(x)=3ax²+2bx+c , f''(x)=6ax+2b

gegeben ist ja f(0)=0 (Punkt einsetzen) , f'(1)=0 (Extrempunkt, notw. Bedingung) , f''(3)=0 (Wendepunkt, notw. Bed) und f'(3)=12 (Steigung im Wendepunkt); das setzt du jetzt in deine Gleichungen von oben ein und du erhälst:

d = 0
3a + 2b + c = 0
18a + 2b = 0	<=> b = -9a
27a + 6b + c = 12

du subtrahierst die zweite von der vierten Gleichung und erhälst: 24a + 4b = 12 , in diese Gleichung setzt du b = -9a ein und erhälst a = -1

also ist b = 9 und für c ergibt sich -15

Eine mögliche Funktion lautet also f(x)= -x³ + 9x² -15x

Du musst jetzt nur noch die Ableitungen bilden und überprüfen, ob an der Stelle 1 auch wirklich ein Extrempunkt vorliegt (hinreichende Bedingung => f''(1)=12), für die Wendestelle gilt dasselbe mit der dritten Ableitung. Nach der Überprüfung weißt du, ob die Funktion die gesuchte ist.

Ich hoffe, das hilft dir so weiter. Viel Erfolg noch beim Lernen :-)

Christine