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Allerleythier · Kugelsternhaufen Beiträge: 305

Ja, da ich mich nun erfolgreich durchgequält habe, gibt es hier von mir auch noch ein paar Hinweise. Bei einer solch dummen Serie kann man da einfach nicht alleine darauf kommen. Ja, auch ich hatte Hilfe

Wer dann doch lieber ganz allein zuhause im dunklen Kämmerchen rechnen möchte, der darf jetzt nicht mehr weiterlesen und muß ganz schnell rechnen!

Aufgabe 2a) Gleichungen aus der Vorlesung nehmen (die mit dem 2/l, wobei l hier natürlich 1 ist) , abschreiben, ausrechnen.
Aufgabe 2b) f(x) = x auf [-1,1] in eine Sinusreihe entwickeln, darauf die Parsevalsche Gleichung anwenden. ||x||^2 = Integral von -1 bis 1 über x^2 dx. Damit erhält man die Summe über 1/k^2. Dann noch die Summe, die man eigentlich ausrechnen soll, schreiben als Summe über 1/k^2 - Summe über 1/(2k)^2 (alle zahlen und die geraden abgezogen). Ein bißchen umformen, und schon ist man fertig.
Aufgabe 2c) Die Parsevalsche Gleichung für die Funktion |x| auf [-1,1] anwenden. Die Koeffizienten dafür hat man natürlich schon in 2a) ausgerechnet!
Aufgabe 2d) Das ist auch schon in 2b) ausgerechnet worden.

Aufgabe 4) Den Laplaceoperator in Polarkoordinaten aufschreiben, u(r,phi) = a(r)*b(phi) verwenden und ausrechnen. Dann steht was mit - b''/b = r a'/a + r^2 a''/a da. Das muß dann konstant sein, also gleich lambda setzen und rumrechnen. Zur Lösung wie in der Vorlesung einen Fourieransatz machen (dazu muß man sin^3 phi fourierentwickeln, also schreiben als a sin (phi) + b sin (2 phi) + c sin(3 phi) + ... und verwendet zur Herleitung am Besten Additionstheoreme für sin(3 phi) )

Aufgabe 5a) Fourieransatz: u(x,t) = summe über alle k von sin(k pi x) * (a_k cos(k pi a t) + b_k sin(k pi a t) ) und viel rumrechnen. Für die Anfangsbedingung u_t (x,0) = sin(2 pi x) kann man die Summe einfach in jedem Summanden ableiten und sieht, daß da nur die Kosinusterme übrig bleiben. Und auch nur ein Kosinusterm.

Aufgabe 6) Fourieransatz: u(x,t) = summe über alle k von b_k sin(k pi x) e^ (- k^2 t) und auch wieder herumrechnen. Um die Anfangsbedingung zu erfüllen, muß man dann x^2-1 in eine Fouriersinusreihe entwickeln. Dazu eignet sich wieder die Formel aus der Vorlesung, und auch sonst kann man ganz genauso vorgehen wie im Abschnitt "Die Wärmeleitungsgleichung (Teil II)".

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Den letzten Menschen barg der Urlehm schon,
den Samen für des letzten Sommers Mohn.
Die Note, die der Schöpfungsmorgen schrieb,
dröhnt als des jüngsten Tages Donnerton.
(Aus den Rubaiyat des Omar Khajjam)